Kennt ihr das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte? Für die, die's nicht kennen: Achilles und die Schildkröte machen ein Wettrennen. Da Achilles 10x so schnell läuft wie die Schildkröte, bekommt diese einen Vorsprung von 10 Metern; sie beginnen gleichzeitig zu laufen. Nun führt euch das Szenario bildlich vor Augen: Da Achilles 10x schneller läuft als die Schildkröte hat er die 10 Meter ihres Vorsprunges bald überwunden; die Schildkröte war jedoch auch nicht untätig und hat in der Zwischenzeit immerhin einen Meter zurückgelegt. Als Achilles diesen weiteren Meter zurückgelegt hat hat die Schildkröte einen weiteren Zehntelmeter zurückgelegt, ist also mittlerweile 11,1 Meter von Start entfernt. Sobald Achilles diese 10 Zentimeter überbrückt hat, hat die Schildkröte einen weiteren Zentimeter zurückgelegt, ist also bei 11,11. Wenn Achilles wiederum diesen Zentimeter hat ist die Schildkröte bei 11,111 usw., das kann man theoretisch beliebig weit fortsetzen, ohne, dass Achilles die Schildkröte jemals einholen kann, er nähert sich ihr also sozusagen asymptotisch an, und gemeinsam nähern sie sich asymptotisch dem Limes 11,1111111... (elf komma eins periodisch also). Dieses Paradoxon ärgert mich schon seit längerer Zeit, da es in sich vollkommen logisch ist, der Wirklichkeit aber offensichtlich absolut widerspricht. Bis heute konnte mir niemand dieses Problem zufriedenstellend erklären, meine Lehrer in Mathe und Physik haben immer nur irgendwas von wegen Grenzprozessen geschwafelt... als ob ich das nicht selber wüsste... Kann mir das jemand erklären? Gibt's da überhaupt eine "Lösung"?
Christianity: The belief that some cosmic Jewish zombie can make you live forever if you symbolically eat his flesh and telepathically tell him that you accept him as your master, so he can remove an evil force from your soul that is present in humanity because a rib-woman was convinced by a talking snake to eat from a magical tree. Makes perfect sense.
Ich kannte das Paradoxon nicht, und ich glaube auch nicht, dass es eine Lösung gibt, die dich zufriedenstellen würde. Was mir auffällt ist allerdings, dass durch den Vorsprung der Schildkröte und durch diese Art der Betrachtung des Schauspiels die Strecke bis zum nächsten "Messpunkt" immer um 1/10 kleiner ist als die Strecke bis zum vorherigen "Messpunkt". Dadurch wird diese Länge unendlich klein (0,000...1), wodurch Achilles die Schildkröte natürlich nicht überholen kann. (Denn auch dafür braucht man Platz) Würde man die Zeit messen und dabei die Geschwindigkeit der Zeitlupe immer um das 10-Fache minimieren, würde die Angelegenheit gleich aussehen, bis sie sozusagen beinahe "einfriert".
Es geht also um die Betrachtungsweise. Immerhin konnte Achilles vorher auch beinahe zur Schildkröte aufschließen, weil sich der Messrahmen in ganz anderen Dimensionen bewegt hat.
--- Nicht Sieg sollte der Sinn einer Diskussion sein, sondern Gewinn. - Joseph Joubert
Das ist genau das Problem: Ich meine, die können doch nicht einfach langsamer werden, oder? Aber wenn sie es nicht tun, müssen sie irgendwann über den Limes 11,1111... hinauskommen. Genau dafür geht mir diese Überlegung einfach unglaublich auf den Sack.
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Die "Verlangsamung" stellt den theoretischen Teil des Paradoxons dar. Würde man die anfängliche Messdimension beibehalten, wäre Achilles zum zweiten Messzeitpunkt bei 20 und die Schildkröte bei 12 Meter. Da man dies aber nicht tut, sondern gemäß der Zeitlupendarstellung die 1,111... Meter nach den 10 Metern in unendlich viele Teile aufsplittet und jeden davon misst, kann ab diesem Zeitpunkt kein Fortschritt im Schauspiel passieren, abgesehen von der Annäherung.
1.) Achilles legt 10 Meter zurück...die Schildkröte 1 Meter. 2.) Achilles legt 1 Meter zurück...die Schildkröte 0,1 Meter. 3.) Achilles legt 0,1 Meter zurück...die Schildkröte 0,01 Meter. . . .
Alle drei Maßstäbe stimmen. Dass man aber nur mit einem einzigen davon den grundsätzlichen Zustand der beiden irgendwie verändern kann, leuchtet mir ein. Denn die anderen und vor allem die darauf folgenden Maßstäbe werden nunmal einfach zu klein. Wichtig ist, dass man einen Maßstab beibehaltet. Ist dies Maßstab 3, wird Achilles die Schildkröte irgendwann auch überholen. Dasselbe bei Maßstab 2304. Wird man aber immer kleiner und kleiner, sind die realistisch betrachtet "endlichen" 1,1111... Meter ebenso unendlich wie die Maßstäbe. Durch die Aufteilung.
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Du willst mir also praktisch sagen, dass ich die Längen-/Zeitintervalle nicht beliebig klein machen kann? Das hat mir jemand anderer auch schon reingedrückt, aber wenn
In Antwort auf:1.) Achilles legt 10 Meter zurück...die Schildkröte 1 Meter. 2.) Achilles legt 1 Meter zurück...die Schildkröte 0,1 Meter. 3.) Achilles legt 0,1 Meter zurück...die Schildkröte 0,01 Meter.
stimmen, was spricht dann dagegen, diese Kette weiterzuführen? Ab wann stimmt es dann nicht mehr? Du kannst nicht einfach sagen: "ok, ab 11,1111100000... stimmts nicht mehr! Aber eigentlich dürfte ja auch die "Verlangsamung" nicht eintreten, da wir mit den Längen- ja auch die Zeitintervalle verkleinern. Wenn wir das jetzt mathematisch betrachten, haben wir also eine lineare Funktion mit positiver Steigung, die sich asymptotisch einem Grenzwert nähert. Ich meine, was ist das???
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In Antwort auf:"stimmen, was spricht dann dagegen, diese Kette weiterzuführen? Ab wann stimmt es dann nicht mehr? Du kannst nicht einfach sagen: "ok, ab 11,1111100000... stimmts nicht mehr!"
Völlig richtig, natürlich. Alle Maßstäbe stimmen, wie vorher schon erwähnt. Man kann beim ersten Messpunkt mit Maßstab 41 rechnen, dann mit Maßstab 99123, darauf mit Maßstab 2. Was man, um die Realität beizubehalten, NICHT machen darf: Die Maßstäbe unendlich lang zu minimieren. Wieso nicht? Weil genau dies dazu führt, dass sie sich (wie von dir beschrieben) an einen Limes annähern. Das Rennen ist in diesem Fall nach 11.1111... Metern zu Ende (genau zu dem Zeit- und Streckenpunkt, wo Achilles die Schildkröte noch nicht überholt haben kann, sondern sich immer weiter nähert). Hier liegt die entscheidende Grenze. Wäre diese Zahl endlich auf 1.1111....2, hätte Achilles die Schildkröte genau an dieser Stelle überholt. Diese Streckenlänge kann man aber nur erreichen, wenn man den Maßstab nicht ins Unendliche verkleinert.
Das widerspricht sich mit der Realität, weil: Auch eine Strecke, die man in unendliche viele kleine Teile aufteilt, insgesamt endlich ist.
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In Antwort auf:Man kann beim ersten Messpunkt mit Maßstab 41 rechnen, dann mit Maßstab 99123, darauf mit Maßstab 2.
Kann ich dir nicht ganz zustimmen. Warum sollte man innerhalb ein und derselben Strecke ständig den Maßstab verändern, das macht ja keinen Sinn. Außerdem ist der Maßstab hier eigentlich nicht von Belang, es ist scheißegal, ob ich jetzt von Metern rede oder von Meilen, wenn's dir Spaß macht auch von Fuß oder Inches... Ich weiß grad nicht woran das jetz eigentlich liegt, aber wirklich befriedigend finde ich das noch immer nicht
In Antwort auf:Das widerspricht sich mit der Realität, weil: Auch eine Strecke, die man in unendliche viele kleine Teile aufteilt, insgesamt endlich ist.
Ja, das ist schon klar, aber inwiefern das das hier beeinfluss kann ich grad nicht wirklích nachvollziehen. Was mir das ganze seltsamerweise ein wenig erleichtert: Ich hab grad die beiden Weg/Zeit-Funktionen aufgestellt f(x)=x+10 und f(x)=10x und sie geschnitten; 10/9, wie zu erwarten war, also 11,1 periodisch. Warum mir das das ganze erleichtert? Es heißt doch, dass 1/9=0,1 periodisch ist. Rechnen wir mal mal neun: 9/9(=1) und (!) 0,9 periodisch (nicht 1) Jetzt sollte man doch eigentlich glauben, dass 0,9 periodisch eigentlich ein Unendlichstel unter eins liegt und damit ungleich eins ist. Aber: __x=0,9999999..... (periodisch)|*10 10x=9,999999.....___________|-x _9x=9,0__________________|:9 =>x=1 !!! Entschuldigt bitte die ganzen Unterstriche, aber so steht's wenigstens halbwegs untereinander und Leerzeichen mag das Programm nicht. Es erklärt zwar das Paradoxon nicht, aber irgendwie kann ich's damit leichter akzeptieren. Vll deswegen, weil ich jetzt statt zwei voneinander unabhängigen Sachen, die ich nicht verstehe, nur mehr zwei Sachen habe, die ich nicht verstehe, die ich aber scheinbar aus dem selben Grund nicht verstehe. Bin ich der Einzige, der diese Überlegung grad seltsam findet...? Egal...
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In Antwort auf:"Warum sollte man innerhalb ein und derselben Strecke ständig den Maßstab verändern, das macht ja keinen Sinn.
Dann ist das Paradoxon sinnlos, weil die ganze Zeit nichts anderes passiert, als dass man den Maßstab um den Faktor 0,1 verkleinert.
In Antwort auf:"Außerdem ist der Maßstab hier eigentlich nicht von Belang, es ist scheißegal, ob ich jetzt von Metern rede oder von Meilen, wenn's dir Spaß macht auch von Fuß oder Inches..."
Wie gesagt, der "Maßstab" ist in diesem Paradoxon ALLES. Meter, Dezimeter, Zentimeter, Millimeter usw. Die unendliche Verkleinerung von ihm ist an der Entstehung des Limes schuld. Für mich selbst ist diese Lösung sogar halbwegs befriedigend.
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In Antwort auf:Dann ist das Paradoxon sinnlos, weil die ganze Zeit nichts anderes passiert, als dass man den Maßstab um den Faktor 0,1 verkleinert.
Ok, versteh schon auf was du hinauswillst. Aber die Einheiten bleiben doch trotzdem die selben. Ich hab halt zuerst Meter, dann Zehntelmeter, dann Hundertstelmeter, aber immer Meter, und nie eine Einheit, die jetzt auf einmal halt 231,5676 Meter oder sonstwas ist. Naja, das die unendliche Verkleinerung an der Entstehung des Limes schuld ist, weiß ich auch, was ich nicht verstehe ist eben dieser Widerspruch zur Realität.
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In Antwort auf:"Aber die Einheiten bleiben doch trotzdem die selben."
Klar.
In Antwort auf:"Naja, das die unendliche Verkleinerung an der Entstehung des Limes schuld ist, weiß ich auch, was ich nicht verstehe ist eben dieser Widerspruch zur Realität."
Auch in der Realität hat Achilles am Streckenpunkt 11.111111... die Schildkröte noch nicht überholt. Im Paradoxon endet das Rennen durch den bereits oft durchgekauten unendlichen Limes aber genau an dieser Stelle.
Edit: Ich weiß, dass dir das klar sein wird. Mir reicht diese Lösung insofern, dass ein anwendbarer Maßstab in der Realität für gewöhnlich eine endliche Strecke nicht in unendlich viele Teile zerlegt.
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Kennt jemand von euch das Newcomb-Paradoxon? Wenn ja, bitte ich um Zurückhaltung. Für die die's nicht kennen: Es beruht auf Interaktion mit einem imaginären Wesen, das die Fähigkeit besitzt, menschliche Entscheidungen mit fast 100%iger Wahrscheinlichkeit vorrauszusagen. So'n Typ namens Nozick definiert das recht fein (bitte lesen, ist für das Folgende unerlässlich):
In Antwort auf:"Sie wissen, daß dieses Wesen Ihre vergangenen Entscheidungen oft richtig vorausgesagt hat (und daß es, soweit Ihnen bekannt ist, niemals falsche Voraussagen über Ihre Entscheidungen gemacht hat), und Sie wissen ferner, daß dieses Wesen oft die Entscheidungen anderer Leute [ ... ] in der nun zu beschreibenden Situation richtig vorausgesagt hat." Es sei ausdrücklich betont, daß die Voraussagen fast, aber eben nur fast vollkommen verläßlich sind.
Das Wesen zeigt Ihnen zwei verschlossene Kästchen und erklärt, daß in Kästchen 1 auf jeden Fall tausend Dollar liegen, während Kästchen 2 entweder nichts oder eine Million Dollar enthält. Es stehen Ihnen nun folgende zwei Möglichkeiten zur Wahl offen: Sie können entweder beide Kästchen öffnen und das darin liegende Geld gewinnen; oder Sie wählen nur Kästchen 2 und nehmen das dort vorgefundene Geld. Ferner teilt Ihnen das Wesen mit, daß es folgende Maßnahmen getroffen hat: Wenn Sie die erste Alternative wählen und beide Kästchen öffnen, so hat das Wesen (das diese Entscheidung natürlich voraussah) das zweite Kästchen leer gelassen, und Sie gewinnen daher nur die tausend Dollar in Kästchen 1. Wenn Sie sich dagegen entschließen, nur Kästchen 2 zu öffnen, hat das Wesen (wiederum aufgrund seines Vorauswissens dieser Entscheidung) die Million dort hineingelegt.
Der Ablauf der Ereignisse ist also folgender: Das Wesen macht zuerst stillschweigend seine Voraussage Ihrer Wahl; dann legt es, je nach seiner Voraussage, entweder die Million in Kästchen 2 oder läßt es leer; dann teilt es Ihnen die Bedingungen mit; und zu guter Letzt treffen Sie Ihre Entscheidung. Wir dürfen im folgenden also annehmen, daß Sie die Situation und die daran geknüpften Bedingungen voll verstehen; daß das Wesen weiß, daß Sie sie verstehen; daß Sie wissen, daß es das weiß, und so weiter.
Der ganze Teil ist zitiert aus: Paul Watzlawick, "Wie wirklich ist die Wirklichkeit?" (mich hat's grad nicht interessiert so viel selbst zu tippen, jetzt hab ich's mir im Internet gesucht.)
Die Frage ist jetzt: Für was entscheidet ihr euch? (Wir gehen hier mal von der Prämisse aus, dass ihr geldgierige Wesen seid, sonst ist das nicht wirklich sinnvoll)
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Da das Wesen mit fast 100%iger Wahrscheinlichkeit meine Entscheidung vorausgesehen hat (was durch diese meine Annahme, die dem Wesen bewusst gewesen sein wird, nicht sonderlich schwer war), wähle ich Option 2 und öffne nur das zweite Kästchen.
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war anzunehmen... da hätt ich jetzt einiges dazu zu sagen, aber wenn ich das täte würde ich den anderen die chance nehmen, unbeeiflusst das zu überdenken. lass dir's noch mal durch den Kopf gehen, vll geht dir dann ein licht auf.
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Klar. Je mehr desto besser, deshalb hab ich ja extra auf die Geldgier hingewiesen.
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